Unidad de aprendizaje I. Sistemas de partículas

 

Unidad de aprendizaje I. Sistemas de partículas

Materia

Definición: La materia es todo aquello que tiene masa y ocupa un lugar en el espacio. Está formada por partículas fundamentales como átomos y moléculas, y constituye el componente básico del universo físico. 

Propiedades de la Materia

1. Masa:

   • Definición: La masa es una medida de la cantidad de materia que posee un objeto. Se mide en unidades como kilogramos (kg) o gramos (g).
   • Propiedad: La masa de un objeto es constante y no cambia independientemente de su ubicación en el universo.

2. Peso:

   • Definición: El peso es la fuerza con la que un objeto es atraído hacia el centro de la Tierra debido a la gravedad. Se mide en newtons (N).
   • Propiedad: El peso de un objeto puede variar dependiendo de la intensidad del campo gravitacional en el que se encuentre.

3. Partícula:

• Definición: Una partícula es una pequeña porción de materia. Las partículas fundamentales incluyen electrones, protones y neutrones. También puede referirse a átomos y moléculas.
• Propiedad: Las partículas son las unidades básicas que componen toda la materia. Las propiedades de la materia a gran escala dependen de la naturaleza y el comportamiento de estas partículas.

Nota científica: Lecturas asombrosas | Investigando las propiedades de la materia |

Diferencia entre Masa y Materia

• Masa:
  • Es una medida de la cantidad de materia en un objeto.
  • Se mantiene constante independientemente de la ubicación.
  • Es una propiedad intrínseca de un objeto.
• Materia:
  • Es todo lo que tiene masa y ocupa espacio.
  • Incluye a todos los objetos físicos y sustancias del universo.
  • La masa es una propiedad de la materia, pero la materia también incluye otras propiedades como el volumen, la densidad, etc.

Centro de Masa

Definición: El centro de masa es el punto en un objeto o sistema de partículas donde se puede considerar que está concentrada toda la masa del sistema para el análisis de su movimiento. 

Características:

• Para un objeto simétrico y de densidad uniforme, el centro de masa está en el centro geométrico del objeto.
• En objetos de formas irregulares o con distribución de masa no uniforme, el centro de masa puede no coincidir con el centro geométrico.
• El centro de masa puede estar localizado fuera del propio objeto físico en algunos casos, como en el caso de un anillo.

Partícula

Definición: Una partícula es una pequeña porción de materia que se puede considerar como una unidad independiente en el análisis de sistemas físicos. En física, las partículas pueden ser fundamentales, como electrones, protones y neutrones, o compuestas, como átomos y moléculas.

 

Modelos de Partículas

1. Modelo de Partículas Puntuales:
   • Las partículas se consideran como puntos sin dimensiones.
   • Se utiliza para simplificar problemas físicos donde el tamaño y la forma de las partículas son irrelevantes.
   • Ejemplos: Mecánica clásica, física estadística.

2. Modelo de Partículas Extensas:

   • Las partículas tienen dimensiones y formas definidas.
   • Se considera su distribución de masa y carga.
   • Ejemplos: Física de materiales, mecánica de fluidos.

3. Modelo de Partículas Cuánticas:

   • Las partículas tienen propiedades de onda y partícula según la mecánica cuántica.
   • Se describen mediante funciones de onda y tienen probabilidades de encontrarse en ciertas posiciones.
   • Ejemplos: Electrones en un átomo, fotones de luz.

4. Modelo de Partículas Subatómicas:

• Incluye partículas fundamentales y sus interacciones.
• Se utilizan teorías como el Modelo Estándar de la física de partículas.
• Ejemplos: Quarks, gluones, neutrinos.

Propiedades de las Partículas

1. Masa:

   • La masa es una propiedad fundamental que mide la cantidad de materia de una partícula.

2. Carga Eléctrica:

   • Las partículas pueden tener carga positiva, negativa o ser neutras.
   • Ejemplos: El protón tiene carga positiva, el electrón tiene carga negativa y el neutrón es neutro.

3. Estado Cuántico:

   • Las partículas cuánticas pueden estar en superposición de estados y tener propiedades descritas por funciones de onda.
   • Ejemplos: Principio de incertidumbre de Heisenberg, dualidad onda-partícula.

4. Interacciones:

• Las partículas pueden interactuar a través de las fuerzas fundamentales: gravitacional, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil.
• Ejemplos: Interacción electromagnética entre electrones y protones, interacción nuclear fuerte entre quarks.

Conformación de Sistemas de Partículas

1. Sistemas de Partículas Independientes:

   • Las partículas no interactúan entre sí de manera significativa.
   • Se puede describir cada partícula individualmente.
   • Ejemplos: Gas ideal, partículas en un vacío.

2. Sistemas de Partículas Interactivas:

   • Las partículas interactúan entre sí a través de fuerzas.
   • Se requiere el análisis de las interacciones para describir el sistema.
   • Ejemplos: Sólidos cristalinos, líquidos, gases reales.

3. Sistemas Cuánticos:

   • Las partículas están descritas por funciones de onda y las interacciones cuánticas.
   • Se utilizan principios de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos.
   • Ejemplos: Electrones en un átomo, partículas en un condensado de Bose-Einstein.

4. Sistemas Complejos:

• Combinaciones de diferentes tipos de partículas y fuerzas.
• Pueden presentar comportamientos emergentes y propiedades colectivas.
• Ejemplos: Plasmas, sistemas biológicos, materiales compuestos.

Sistema de Traslación

Masa Total: En un sistema de partículas, la masa total M es la suma de las masas de todas las partículas individuales que componen el sistema.

$M = \sum_{i=1}^N m_i$

donde mi es la masa de la partícula y N es el número total de partículas en el sistema.

Nota científica: datos principales (nationalgeographic.com.es)

Momento Total: El momento total $vec{P}$ de un sistema de partículas es la suma vectorial de los momentos lineales de todas las partículas individuales.

${P} = \sum_{i=1}^N m_i \vec{v}_i$

donde ${v}_i$ es la velocidad de la i-ésima partícula.

​Fuerza Externa e Interna:

• Fuerzas Internas: Son las fuerzas que las partículas del sistema ejercen entre sí. Según la tercera ley de Newton, estas fuerzas internas son iguales y opuestas, por lo que no afectan al movimiento del centro de masa del sistema.
• Fuerzas Externas: Son las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema desde fuera del sistema. Estas fuerzas son responsables de cambiar el estado de movimiento del centro de masa del sistema.

2ª Ley de Newton en un Sistema de Partículas: 

Para un sistema de partículas, la segunda ley de Newton se aplica al centro de masa del sistema. La aceleración del centro de masa es proporcional a la fuerza neta externa aplicada al sistema y se determina mediante la masa total del sistema.

$\vec{F}_{\text{ext}} = M \vec{a}_{\text{cm}}$

donde $\vec{F}_{\text{ext}}$ es la fuerza externa total, $M$ es la masa total del sistema y $\vec{a}_{\text{cm}}$ es la aceleración del centro de masa.

Posición, Velocidad y Aceleración

• Posición del Centro de Masa: La posición del centro de masa $\vec{R}_{\text{cm}}$ de un sistema de partículas es la media ponderada de las posiciones de todas las partículas del sistema, ponderada por sus masas.

  $\vec{R}_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i$

  donde $\vec{r}_i$ es la posición de la i-ésima partícula.

• Velocidad del Centro de Masa: La velocidad del centro de masa $\vec{V}_{\text{cm}}$ es la media ponderada de las velocidades de todas las partículas del sistema.

  $\vec{V}_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \vec{v}_i$

• Aceleración del Centro de Masa: La aceleración del centro de masa $\vec{A}_{\text{cm}}$ es la media ponderada de las aceleraciones de todas las partículas del sistema.

  $\vec{A}_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \vec{a}_i$

Nota científica: Redalyc.Reflexiones sobre los conceptos velocidad y rapidez 

Definición de un Cuerpo Rígido:

Un cuerpo rígido es un sistema de partículas en el que las distancias relativas entre las partículas que lo componen permanecen constantes en el tiempo, independientemente de las fuerzas externas e internas que actúan sobre el sistema. Esto significa que la forma y el tamaño del cuerpo no cambian.

Movimiento de Traslación:

El movimiento de traslación de un cuerpo rígido se refiere al movimiento en el cual todas las partículas del cuerpo se mueven con la misma velocidad y aceleración. En este tipo de movimiento, el cuerpo se desplaza sin rotación alrededor de su centro de masa.

• Posición del cuerpo rígido: La posición de cualquier punto en un cuerpo rígido se puede describir en términos de la posición del centro de masa y una posición relativa fija respecto al centro de masa.

  $\vec{r}_i = \vec{R}_{\text{cm}} + \vec{r}_{i,\text{rel}}$

  donde $\vec{r}_{i,\text{rel}}$ es la posición relativa del punto i respecto al centro de masa.

• Velocidad del cuerpo rígido: La velocidad de cualquier punto en un cuerpo rígido es igual a la velocidad del centro de masa.

  $\vec{v}_i = \vec{V}_{\text{cm}}$

• Aceleración del cuerpo rígido: La aceleración de cualquier punto en un cuerpo rígido es igual a la aceleración del centro de masa.

  $\vec{a}_i = \vec{A}_{\text{cm}}$
  

Sistema de Rotación

Movimiento Angular: El movimiento angular describe la rotación de un objeto alrededor de un eje. Es caracterizado por varias magnitudes:

1. Posición Angular ($\theta$):

   • Es la medida del ángulo que un punto en el objeto ha girado desde una posición de referencia.
   • Se mide en radianes ($rad$).

2. Velocidad Angular ($\omega$):

   • Es la tasa de cambio de la posición angular con respecto al tiempo.
   • $\omega = \frac{d\theta}{dt}$
   • Se mide en radianes por segundo ($rad\mathrm{/}\mathrm{<span\; class="mord\; mathnormal">s).</span>}$

3. Aceleración Angular ($\alpha$):

• Es la tasa de cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo.
• $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$
• Se mide en radianes por segundo cuadrado ($rad/s^2$).

Momento de Inercia (I): El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a cambios en su estado de rotación. Depende de la distribución de la masa del objeto respecto al eje de rotación.

1. Definición:

   • Para un sistema discreto de partículas:
   •   $I = \sum_{i} m_i r_i^2$ donde $m_i$ es la masa de la i-ésima partícula y $r_i$ es la distancia de la partícula al eje de rotación.
   • Para un objeto continuo: $I = \int r^2 \, dm$ donde $dm$ es un elemento infinitesimal de masa y $r$ es la distancia de $dm$ al eje de rotación.

2. Propiedades:

   • Depende de la geometría del objeto y la ubicación del eje de rotación.
   • Para objetos con simetría, el momento de inercia se puede calcular mediante tablas o fórmulas específicas.

Conservación del Momento Angular: El momento angular ($L$) de un sistema es una magnitud vectorial que describe la cantidad de rotación que tiene el sistema. Se define como el producto del momento de inercia y la velocidad angular.

$\vec{L} = I \vec{\omega}$

1. Principio de Conservación:

   • En ausencia de torques externos, el momento angular total de un sistema cerrado se conserva.
   • $\sum \tau_{\text{ext}} = 0 \Rightarrow \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \Rightarrow \vec{L} = \text{constante}$
     
   • Esto implica que si no hay fuerzas externas que produzcan un torque, el momento angular inicial es igual al momento angular final.

2. Aplicaciones:

   • Patinadores sobre hielo que reducen su momento de inercia al acercar sus brazos al cuerpo, aumentando su velocidad angular.
   • Satélites y planetas que conservan su momento angular al orbitar.

Movimiento de Rotación

El movimiento de rotación implica la rotación de un objeto alrededor de un eje. Este movimiento puede ser analizado utilizando las siguientes ecuaciones y conceptos:

1. Ecuaciones de Rotación:

   • Posición angular: $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
     
   • Velocidad angular: $\omega = \omega_0 + \alpha t$
     
   • Aceleración angular: $\alpha = \text{constante}$

2. Relación entre Magnitudes Lineales y Angulares:

   • Desplazamiento lineal ($s$): $s = r \theta$
     
   • Velocidad lineal ($v$): $v = r \omega$
     
   • Aceleración lineal ($a$): $a=r\alpha$

3. Torque ($\tau$):

   • El torque es la fuerza que causa el cambio en el movimiento angular de un objeto.
   • $\tau = r F \sin \theta$¿
   • La relación entre el torque y el momento de inercia es: $\tau =I\alpha$

Definición de Torque y Momento Angular

Torque: El torque (también llamado momento de fuerza) es una medida de la tendencia de una fuerza a causar o cambiar el estado de rotación de un objeto.

1. • $\tau =r\times F$
   • Magnitud: $\tau = r F \sin \theta$ donde $r$ es la distancia desde el eje de rotación al punto de aplicación de la fuerza, $F$ es la magnitud de la fuerza, y $\theta$ es el ángulo entre $r$ y $F$.

2. Unidad de Medida:

   • Newton-metro (Nm)

Momento Angular: El momento angular ($\vec{L}$) es una magnitud vectorial que describe la cantidad de rotación de un objeto y es análoga al momento lineal en sistemas rotacionales. Depende del momento de inercia y la velocidad angular del objeto.

1. Definición:

   • Para una partícula: $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m \vec{v})$
     
   • Para un cuerpo rígido: $\vec{L} = I \vec{\omega}$ donde $\vec{r}$ es la posición de la partícula respecto al eje de rotación, $\vec{p}$ es el momento lineal, $m$ es la masa de la partícula, $\vec{v}$ es la velocidad lineal, $I$ es el momento de inercia y $\vec{\omega}$ es la velocidad angular.

2. Unidad de Medida:

• Kilogramo-metro cuadrado por segundo ($kg \cdot m^2/s$)

Nota científica: mip122b.pdf (medigraphic.com)

Rotación de un Cuerpo Rígido

Momento de Inercia: El momento de inercia ($I$) es una medida de la resistencia de un cuerpo rígido a cambios en su estado de rotación. Depende de la distribución de la masa del cuerpo respecto al eje de rotación.

1. Definición:

   • Para un sistema discreto de partículas: $I = \sum_{i} m_i r_i^2$donde $m_i$ es la masa de la i-ésima partícula y $r_i$ es la distancia de la partícula al eje de rotación.
   • Para un objeto continuo: $I = \int r^2 \, dm$ donde $dm$ es un elemento infinitesimal de masa y $r$ es la distancia de $dm$ al eje de rotación.

2. Propiedades:

• Depende de la geometría del objeto y la ubicación del eje de rotación.
• Ejemplos de momentos de inercia para objetos comunes:
• Cilindro sólido (rotación alrededor de su eje): $I = \frac{1}{2} m r^2$
  
• Esfera sólida (rotación alrededor de su diámetro): $I = \frac{2}{5} m r^2$
  
• Barra delgada (rotación alrededor de su centro): $I = \frac{1}{12} m L^2$